La Persistencia de la Memoria

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Salvador Dalí

jueves, 16 de julio de 2015

Geometría y astronomía: las secciones cónicas y las leyes de Kepler



Por José Antonio Gómez Di Vincenzo

Esta vez volveremos a hacer un alto en nuestros apuntes sobre Burtt para retomar nuestros pasos y profundizar ciertos aspectos importantes en las contribuciones de Képler. Por cierto, el tópico que plantearemos constituye un excelente ejemplo de la comunicación que se da entre las ciencias, aún mediada ella por lapsos considerables de tiempo. O de cómo ciertos estudios que adquirían o perdían sentido en ciertos contextos, se resignifican en otros.

En efecto, esta entrada tiene por objetivo mostrar la influencia de los estudios geométricos antiguos en la obra del astrónomo germano. Concretamente, cómo medió la investigación sobre las secciones cónicas y las áreas de figuras circulares o curvas en la elaboración de las leyes del movimiento planetario.

Las cónicas se estudiaron aproximadamente mil años antes de Cristo en Grecia. Se tomaba un cono recto y se lo intersecaba por un plano. De las diferentes intersecciones surgían distintas curvas: el círculo, la elipse, la parábola y la hipérbola. La circunferencia es la sección producida por un plano perpendicular al eje. La elipse es la sección producida en una superficie cónica de revolución por un plano oblicuo al eje, que no sea paralelo a la generatriz y que forme con el mismo un ángulo mayor que el que forman eje y generatriz. La parábola es la sección producida en una superficie cónica de revolución por un plano oblicuo al eje, siendo paralelo a la generatriz. La hipérbola es la sección producida en una superficie cónica de revolución por un plano oblicuo al eje, formando con él un ángulo menor al que forman eje y generatriz, por lo que incide en las dos hojas de la superficie cónica.

Se sabe que los nombres de las cónicas se deben a Apolonio de Pérgamo (c. 262 - c. 190 a. C.) y que su estudio geométrico iba en consonancia con sus investigaciones acerca del movimiento de los planetas y la Luna. Apolonio planteó la necesidad de recurrir a epiciclos y excéntricas para salvar los fenómenos.

En Las Cónicas, Apolonio presenta el resultado de sus investigaciones con las secciones. Son en rigor ocho libros en uno donde el matemático trata las propiedades fundamentales de estas curvas, los diámetros conjugados y de las tangentes de estas curvas, los tipos de conos, las maneras en que pueden cortarse las secciones de conos, los segmentos máximos y mínimos trazados respecto a una cónica, las cónicas semejantes y  los diámetros conjugados. El último de los ocho se perdió en el tiempo. Algunos investigadores creen que se trataba sólo de un apéndice.

Como sea, su obra es fundamental para emprender el estudio de cualquier aplicación posible de las curvas que surgen de las secciones al estudio del movimiento de los objetos en el espacio.

Képler es, sin duda, un obrero de la ciencia. Claro que pasó a la historia por ser el más moderno de los antiguos, el primero en matematizar la naturaleza. Pero para eso debió pasar prueba tras prueba, emprendiendo una búsqueda que lo llevó de fracaso en fracaso.

En efecto, en su búsqueda por hallar la razón matemática detrás de los fenómenos, el germano pasó de las armonías musicales como regentes de los movimientos estelares a la hipóstasis de los sólidos platónicos. Intentó hallar la música de las esferas o encajar los sólidos en el orbe, descubriendo una y otra vez que los datos empíricos refutaban sus exquisitas hipótesis.

La primera de las famosas leyes dice que los planetas se mueven alrededor del Sol describiendo órbitas elípticas ocupando la estrella uno de los focos. La segunda sostiene que el radio vector que une un planeta y el Sol barre áreas iguales en tiempos iguales.

Isaac Newton (1642/ 4 – 1727) agregará más tarde dos cónicas más, la hipérbola y la parábola, como curvas en las cuales puede hallarse la trayectoria de un astro. Pero como quiera que sea calcular las áreas de los segmentos de elipse constituía para cualquier matemático un desafío singular.

El derrotero conceptual llevó a Képler a interesarse por los estudios de Arquímedes (ca. 287 a. C. - ca. 212 a. C.) y su método para la medición de áreas y las investigaciones apolonias sobre las secciones cónicas. Del genio de Pérgano tomó todo lo referido al estudio de las elípses y del siracusano el método de exhausión para el estudio de las áreas de en las parábolas. Introduciendo la noción de infinito, él y otros investigadores contemporáneos refinaron su método. El nuevo, denominado de los indivisibles, permitía pensar una figura plana como conformada por una infinita cantidad de secciones angostas. En el caso del círculo, infinitas secciones triangulares contribuían a hallar la superficie del conjunto.


Fue así que el germano halló en dos griegos contemporáneos una fuente de inspiración para la elaboración de una nueva propuesta hipotética en sintonía con el presupuesto de que el orbe obedecía en sus movimientos a razones matemáticas. Dos mil años habían transcurrido hasta que los astrónomos y físicos renacentistas y modernos volvieron a enfocarse en el estudio de las cónicas y de las áreas para poder emprender la búsqueda de una explicación racional al movimiento de los astros del sistema solar.

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