La Persistencia de la Memoria

La Persistencia de la Memoria
Salvador Dalí

domingo, 16 de diciembre de 2012

De cuando los geómetras patearon el tablero de Euclides y pusieron en aprietos al mismísimo Kant.





Por José Antonio Gómez Di Vincenzo

El quinto postulado de la Geometría Euclidiana se había instalado, desde la antigüedad, como un verdadero dolor de cabeza para muchos estudiosos de la filosofía de la geometría y la geometría misma. El mismo Euclides (ca. 325 - ca. 265 a. C.) hacía todo lo posible por evitarlo en sus demostraciones, apelando a él recién en la proposición XXVII de sus famosos Elementos, la que establece la igualdad de los ángulos alternos internos que se forman cuando una recta corta dos paralelas. Muchos de sus teoremas quedaron demostrados haciendo uso y abuso de complejos rompederos de cabeza; teoremas cuya justificación hubiese sido muy sencilla y elegante de haber invocado el quinto postulado. ¿Por qué tanta aversión al uso del quinto por parte de su creador?
El quinto postulado sostiene que si una recta al incidir sobre dos rectas hace los ángulos internos del mismo lado menores que dos rectos, las dos rectas prolongadas indefinidamente se encontrarán en el lado en el que están los ángulos menores que dos rectos. Como puede advertirse, la fórmula euclidiana es bastante más compleja en éste que en otros cuatro postulados los cuales, además, parecen evidentes por sí mismos[1]. Siempre queda pendiente la cuestión de definir si éste es independiente del resto o puede demostrarse a partir de ellos.
En rigor, las discusiones sobre el quinto postulado han seguido distintos derroteros a lo largo de la historia. Se ha intentado derivar el postulado del resto de la geometría, se lo ha intentado reformular o se ha tratado de explicar qué podría suceder con la geometría de negarlo.
La posibilidad de demostrar el quinto postulado del geómetra alejandrino mediante un simple teorema fue, pues, una de las tareas a las que se abocaron numerosos estudiosos de la geometría. Pero aún existe una cuestión más que debe tenerse en cuenta antes de avanzar con la discusión…
El famoso postulado se completa con la teoría euclidiana del paralelismo. En efecto, puede enunciarse la cuestión en los siguientes términos: dos rectas paralelas a una tercera son paralelas entre sí; por un punto exterior a una recta se puede trazar una y sólo una recta paralela[2]; y puede decirse también, que la suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a dos rectos.
Todos los geómetras que han querido demostrar, por ejemplo, la igualdad a 180º (dos rectos) de la suma de los ángulos interiores de un triángulo evadiendo el quinto postulado naufragaron olímpicamente.[3] A pesar de los muchos esfuerzos veremos que con las Geometrías no Euclidianas quedará demostrada la independencia del quinto postulado de Euclides.
Es interesante rescatar de los pliegues de la historia el aporte de Giovani Saccheri (1667 – 1733), quien en su Euclides ab omni naevo vindicatustrata, trata de demostrar el quinto postulado, mediante una sutil variación del método de la reducción al absurdo. Saccheri da dos demostraciones del quinto postulado de Euclides. Considera un cuadrilátero birrectángulo ABCD (cuadrilátero que hoy lleva su nombre) en el que los lados opuestos AC y BD son iguales y perpendiculares a AB, es decir que los ángulos en A y B son rectos. A continuación, demuestra que si C es obtuso, entonces AB es mayor que CD; si C es recto, AB es igual a CD; si C es agudo, entonces AB es menor que CD; y así recíprocamente.
Posteriormente, Saccheri muestra que, si en un sólo cuadrilátero birrectángulo el ángulo C es obtuso, recto o agudo, pues entonces, en todos estos cuadriláteros del plano los ángulos que no son rectos por construcción serán asimismo, obtusos, rectos o agudos respectivamente. En otras palabras, sin realizar juicio alguno sobre la validez del postulado quinto de Euclides, demuestra que los otros ángulos opuestos son iguales y que pueden ser rectos, agudos u obtusos.
Más adelante, el geómetra italiano pasa a estudiar estas tres hipótesis de las cuales, una y sólo una puede ser verificada, son auto-excluyentes. Es preciso tener en cuenta que todo este trabajo es llevado a cabo por Saccheri con el propósito de reivindicar la geometría euclidiana. Es justamente en este momento que entra en juego la técnica de la reducción al absurdo. Saccheri parte del supuesto de que los ángulos opuestos son obtusos o son agudos, pretendiendo arribar a una contradicción.
El procedimiento es complejo y no viene al caso trascribirlo aquí.[4] Lo importante es que por el hecho de considerar la posibilidad de que dichos ángulos sean agudos u obtusos, Saccheri se instala como un precursor de las Geometrías no Euclidianas. En efecto, de ser así, la suma de los ángulos interiores del cuadrilátero sería mayor o menor a 360º y la de los triángulos mayor o menor a 180º.
Saccheri creyó haber demostrado ciegamente el postulado euclidiano aún sin haber logrado exponer su validez absoluta. Nunca juzgó que la nueva geometría que surgía al negar el quinto postulado euclidiano fuese tan consistente como la del alejandrino.
Como quiera que sea, con el correr de los años ningún matemático estaba dispuesto a dejar de lado el quinto postulado, aún con todos los problemas que traía aparejados. Menos, después de la publicación de la Critica de la Razón Pura de Kant (1724 - 1804). Efectivamente, todos los matemáticos contemporáneos al filósofo de Königsberg se apoyaron en él para sostener el quinto postulado. Su concepción apriorística del espacio daba a la Geometría Euclidiana un lugar destacado. Efectivamente, el espacio a priori kantiano es el espacio que describe Euclides en sus Elementos. Para el filósofo era impensable que la Geometría Euclidiana sea contingente, que no tenga certeza absoluta, que sus afirmaciones no sean universales y necesarias y que el espacio empírico no sea el que ella describe. De ser contingente, sus afirmaciones deberían modificarse con el tiempo y junto con ella las de toda la ciencia natural que también tendría un carácter efímero.
Según Inmanuel Kant, la Geometría Euclidiana se fundamenta epistemológicamente porque sus axiomas se construyen con enunciados sintéticos a priori. Pero también, la matemática y la física (la de su época, la de Newton) resultaban innovadoras por el hecho de construir sus conocimientos mediante el uso de este tipo particular de enunciados, aquellos que pueden conocerse intuitivamente sin recurrir a la observación directa o a la experiencia pero que además, amplían significativamente nuestro conocimiento. Esto es posible gracias a las formas puras de la intuición y a las categorías del entendimiento. El espacio y el tiempo son estas formas puras. Tanto las formas puras como las categorías son a priori, es decir, independientes de la experiencia. No debe perderse de vista que Kant intenta fundamentar gnoseológicamente la física newtoniana, ideal de cientificidad para la época.
La epistemología del genial filósofo, en síntesis, exige como condición fundamental para las ciencias la utilización de juicios sintéticos a priori. Podemos conocer cómo funciona el universo, podemos anticipar resultados aún sin recurrir a la experiencia (que es particular y contingente) porque somos nosotros mismos los que ordenamos la realidad mediante las formas puras de la intuición y las categorías del entendimiento y porque a partir de ellas y mediante las categorías del entendimiento podemos elaborar leyes científicas (es decir, conocimientos universales y necesarios).
El carácter absoluto de la geometría de Euclides, que será puesto en tela de juicio por quienes inauguran las denominadas Geometrías no Euclidianas, está presente, como decía, en la gnoseología kantiana pero también en física newtoniana. Los Elementos de Euclides son para Kant ciencia bien construida, ciencia que se edifica mediante el uso de juicios sintéticos a priori. La geometría pura de Euclides se aplica a la experiencia. Es una geometría aplicada a la construcción de conocimiento acerca del espacio empírico. Kant demuestra (más bien cree demostrar) que el espacio de la experiencia, el espacio físico, es el espacio euclídeo, lo puro y lo aplicado coinciden.
Entonces, como decía, el espacio en el que Newton  (1643 - 1727) traza sus leyes es el de Euclides. Esta concepción del espacio se derrumba definitivamente gracias a las experiencias empíricas realizadas por los físicos y el aporte de la Física Relativista que demuestra que siempre es necesario recurrir a la experiencia para construir nuevos conocimientos del universo.[5] No hay a priori alguno, no hay certeza apodíctica. El error de Kant consiste en pensar que el esquema o estructura de nuestro conocimiento es universal y absoluto. Si bien es cierto que cuando ponemos en funcionamiento nuestra capacidad de construcción de conocimiento, operamos mediante esquemas ordenadores de una manera muy particular que nos permite de algún modo concebir el mundo y darle cierta forma, también es cierto que estos esquemas o estructuras junto a los conocimientos no son absolutos y que han ido transformándose en la historia a partir de formas dialécticas de relacionarnos con el mundo y de nuestra necesidad de transformarlo para lograr la reproducción en nuestra existencia.
Concretamente, tomando las ideas planteadas por Riemann, hacia 1920, Einstein (1879 - 1955) desarrolla, en su Teoría de la Relatividad General, la cuestión de la estructura geométrica del universo. Es allí que demuestra que la geometría del espacio-tiempo es curva. Se trata del campo gravitatorio. En él, bajo la acción de la gravedad, los cuerpos siguen las líneas más rectas posibles dentro de dicha geometría. Estas líneas en el espacio son las geodésicas. Con lo cual, se derrumba la idea kantiana de la relevancia de los enunciados sintéticos a priori.
En efecto, el espacio debe ser vuelto a estudiar a partir de una nueva relación entre el hecho empírico y la abstracción para poder ser abordado y transformado, no hay absolutos ni a priori. Es así como la historia de la física demuestra que el gran Kant se equivocaba al pensar en el carácter absoluto de la geometría de Euclides. Porque la geometría en general tiene que ver con la experiencia y no posee una certeza apodíctica; esto es, no se trata de un conocimiento universal y necesario.
Pero volvamos al trabajo de los geómetras y al temblor que producen las Geometrías no Euclidianas. Después de veintidós siglos de trabajo, estos estudiosos del espacio llegan a la conclusión de que el quinto postulado es independiente de los demás. Y lo sorprendente es que de esta independencia se sigue la existencia de Geometrías no Euclidianas, geometrías en las que el quinto postulado no se cumple, en las que no habría ningún problema lógico en afirmar que por un punto exterior a una recta puedan pasar más de una paralela o incluso ninguna y que la suma de los ángulos interiores de un triángulo es menor a dos rectos o mayor.
Hemos visto como Saccheri introdujo el método de la reducción al absurdo en la demostración. Más tarde a principios del siglo XIX, se intentó demostrar el quinto postulado por reducción al absurdo. Se suponía que es falso y se trataba de obtener una contradicción. Sin embargo, lejos de llegar a un absurdo se encontró que existían geometrías consistentes y perfectamente coherentes, diferentes de la Geometría Euclidiana.
El primer matemático en ver con cierta claridad la independencia del quinto postulado de Euclides fue Gauss (1777 – 1855). El alemán advirtió, también, las posibilidades lógicas y geométricas que se abrían al dejar de lado el famoso quinto postulado. En efecto, sistemas sumamente coherentes podían dar lugar a nuevas geometrías tan poderosas como la euclidiana, prescindiendo del problemático postulado. Desafortunadamente para él, Gauss nunca publicó sus trabajos por temor a las críticas que pudieran caerle encima. Así lo manifestó en una carta fechada el 27 de enero de 1813 y dirigida a Bessel (1784 – 1846).
Gauss había comenzado a estudiar el postulado en 1792. Según su diario personal fue recién en 1813 cuando a partir de una nueva definición de las paralelas fundó la que denominó Geometría Antieucídea. El matemático alemán dejo de lado sus investigaciones al enterarse, gracias a una carta enviada por un orgulloso padre, que un joven geómetra húngaro de apellido Bolyai (1802 – 1860) había llegado a sus mismos resultados.
En efecto, el padre de Bolyai, Wolfgang, envió el trabajo de su hijo Juan a Gauss solicitándole una opinión. El alemán contesto vanidosamente: “Empiezo por confesarte que no puedo alabar el trabajo de tu hijo porque sería alabarme a mí mismo.” Sus resultados coinciden casi completamente con el fruto de mis propias meditaciones. Tenía el propósito de no publicar durante mi vida nada de esto, que, en verdad, apenas he confiado al papel. La mayor parte de los hombres no saben de qué se trata y he encontrado muy pocos que escuchasen con interés lo que les he comunicado acerca de lacuestión. Cerebro mucho que quien se me ha adelantado sea el hijo de un viejo amigo.”[6]
Sea como sea, hacia la primera mitad del siglo XIX estaba madura la idea de la indemostrabilidad del quinto postulado y su independencia con lo cual la aparición de nuevas geometrías era casi un hecho asegurado. En efecto, nada faltaba para que el ruso Lobatschewski (1793 – 1856), el ya mencionado húngaro Bolyai, casi en simultáneo, y veinticinco años después, Riemann (1826 – 1866) dieran el paso para la formulación de las Geometrías no Euclideanas.
Aquellas geometrías junto con la física relativista pondrían de manifiesto que si bien es cierto que los hombres creamos un mundo lo hacemos a partir de la experiencia y que ningún conocimiento es eterno o inmóvil. Es por la permanente necesidad de transformar el mundo que creamos, a partir de los cambios que introducimos en nuestra percepción y conocimiento del universo, nuevas posibilidades y a la vez, hacemos historia.



[1] 1.  Se puede trazar una línea recta que pase por dos puntos.
2. Se puede prolongar una línea recta indefinidamente a partir de una recta finita.
3. Se puede trazar una circunferencia con centro y radio dado.
4. Todos los ángulos rectos son iguales.
[2] Todo parece indicar que fue Proclo (412 – 482) quien enunciar el quinto postulado de esta manera.
[3] Para estudiar en profundidad todo el derrotero de estudios sobre el quinto postulado desde la antigüedad hasta la modernidad puede consultarse el ya clásico texto Francisco Vera Breve Historia de la Geometría, Editorial Losada, Buenos Aires.
[4] Para ampliar puede consultarse  Dou A., Orígenes de la Geometría no euclidiana: SACCHERI, LAMBERT Y TAURINUS en http://dmle.cindoc.csic.es/pdf/HISTORIADELAMATEMATICA_1992_00_00_02.pdf
[5] Hay una interesantísima discusión que no puedo desarrollar aquí dados los límites que me he impuesto para este trabajo, es la que se da entre Poincaré quien sostenía que la Geometría Euclidiana no puede ser refutada por experimento alguno, nada en los hechos determina si es ella la correcta o cualquiera de las no euclidianas y por lo tanto, somos nosotros quienes debemos decidir qué descripción dar al mundo por convención y Einstein para quien la pregunta acerca de la estructura del espacio, es decir si es esta euclidiana o no, debe contestarse a partir de la experiencia, siendo una actividad a desarrollarse desde la física y no desde las convenciones.
[6] Cita tomada de Vera Francisco, Breve Historia de la Geometría, Lozada, pp.149 y ss.

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