La Persistencia de la Memoria

La Persistencia de la Memoria
Salvador Dalí

miércoles, 10 de noviembre de 2010

Sistemas axiomáticos

José Antonio Gómez Di Vincenzo

Antes de pasar a enumerar los componentes de un sistema axiomático y sus propiedades, nos parece importante introducir una breve digresión para explicar qué es un sistema axiomático, cómo funciona y por qué es una herramienta importante para la construcción de conocimiento científico.
Tanto los intelectuales lógicos como los matemáticos se han esforzado por presentar ambas ciencias formales como sistemas de argumentos deductivos en los que algunos enunciados son tomados como punto de partida y los demás, son obtenidos a partir de estos mediante reglas de inferencia. Aquellos enunciados tomados como punto de partida son los axiomas. Si los axiomas son verdaderos entonces, los enunciados que se deducen a partir de ellos también lo son. Llamamos sistema axiomático a un conjunto de enunciados o proposiciones tales que algunos de ellos llamados axiomas o postulados son tomados como punto de partida supuestamente verdaderos y que no se demuestran para deducir otros llamados teoremas, mediante la aplicación de las reglas de inferencia que garantizan que si los axiomas son verdaderos los teoremas también lo serán. Siguiendo a Aristóteles, si no se tomaran ciertos enunciados como punto de partida caeríamos en una suerte de regresión al infinito o círculo vicioso puesto que siempre necesitaríamos un enunciado anterior al cual apelar, para justificar el que estamos considerando.
Los orígenes de este método pueden rastrearse hasta la época clásica en la que se pretendía presentar las teorías referidas a objetos o entidades como un sistema puramente deductivo. Este es el ideal que recoge Aristóteles cuando expone su concepción de la ciencia demostrativa.
La concepción contemporánea del método axiomático presenta algunos cambios en relación a la concepción tradicional derivada del modelo aristotélico. Hoy no se exige que el significado de los términos y la verdad de los axiomas sean evidentes. Tampoco los términos y las proposiciones deben referirse a un dominio de entidades observables. Se admite la construcción de sistemas axiomáticos formales, abstractos no interpretados que son aquellos en los que los términos primitivos no tienen asignados un significado. Recordemos que si los términos primitivos de un sistema axiomático tienen asignado un significado, como por ejemplo el sistema de Peano para la aritmética, entonces estamos frente a un sistema axiomático interpretado.
Ahora bien, una interpretación para un sistema axiomático formal es una función que asigna significado a los términos primitivos del sistema en cuestión y al hacerlo, asigna indirectamente significado a los términos definidos. Se trata de encontrar un dominio de objetos de tal manera que esos objetos puedan ser los designados por los términos primitivos. Al establecer reglas de designación, hacemos que a cada término primitivo del sistema le correspondan una y sólo una designación. De este modo, los axiomas del sistema se transforman en proposiciones que pueden ser verdaderas o falsas. Cuando la interpretación hace verdadera a todos los axiomas del sistema, entonces, se constituye un modelo de dicho sistema aximático. Si existe al menos un modelo para el sistema, entonces, es satisfacible; si no tiene ningún modelo es insatisfacible.
Según la concepción contemporánea, los sistemas axiomáticos constan de los siguientes componentes:

Un conjunto de términos primitivos que se introducen sin ser definidos.
Un conjunto de términos introducidos por medio de una definición llamados términos definidos. Por ejemplo: podemos definir triángulo como aquella figura cerrada de tres ángulos.
Aquí es interesante detenernos para hacer un rodeo, antes de continuar enumerando los componentes de los sistemas axiomáticos y mostrar cómo, nuevamente, podemos caer en una suerte de círculo vicioso si no aceptamos que existan términos sin definir. Puesto que siempre al definir un término necesitamos apelar a otros términos, si tratamos de definir todos los términos caeríamos en una regresión al infinito.
Un conjunto de axiomas. Los axiomas son proposiciones o fórmulas que se aceptan sin necesidad de ser demostradas.
Un conjunto de teoremas. Los teoremas son proposiciones o fórmulas que se demuestran mediante la aplicación de la inferencia lógica a partir de los axiomas.

Es importante definir que en un sistema axiomático, una demostración es un conjunto finito de enunciados donde cada uno de ellos es o un axioma o es consecuencia lógica de enunciados anteriores en virtud de una regla de inferencia. Es posible definir el teorema como el último enunciado de la demostración.
Las principales propiedades de los sistemas axiomáticos son las siguientes: consistencia, independencia y completitud. Dichas propiedades hacen que los sistemas sean útiles e interesantes para la ciencia. Veamos a continuación cada una de ellas.

Consistencia: Comenzaremos por explicar a qué nos referimos cuando decimos que un sistema es consistente. Un sistema axiomático es consistente cuando no es posible derivar una contradicción a partir de sus axiomas. Decimos por el contrario que un sistema es inconsistente si es posible probar en este sistema como teorema una fórmula cualquiera y su negación. Como a partir de premisas inconsistentes se puede deducir cualquier conclusión, un sistema inconsistente carece de utilidad para la ciencia puesto que en todas sus interpretaciones, habrá enunciados falsos. Dicho de otro modo, como por la regla EFSQ de la contradicción se puede deducir cualquier conclusión, un sistema inconsistente sería inútil como herramienta. Como no pueden tener ningún modelo, estos sistemas no son interesantes, para la construcción de conocimiento científico. Es posible probar la inconsistencia de un sistema axiomático derivando una fórmula y su negación. Por otra parte, si al tratar de hacerlo no podemos lograrlo, entonces no estaría probado que el sistema es consistente puesto que el fracaso del intento bien podría estar dado por la falta de creatividad o ingenio para conseguir derivar la contradicción.
La consistencia es difícil de probar. El método para probar la consistencia de un sistema consiste en encontrar un modelo para dicho sistema axiomático. El sistema será consistente si el modelo lo es. Pero se trata de una prueba relativa. Si el modelo tratado cuenta con modelos finitos, entonces la consistencia puede demostrarse inspeccionando todo el modelo.

Independencia: Esta no es una propiedad indispensable de un sistema axiomático. Un sistema es independiente si no puede demostrarse a partir de los demás.
Un sistema de axiomas es independiente si lo son todos los axiomas que componen el sistema. La independencia no es tan importante como la consistencia. Un sistema inconsistente es totalmente inútil y objetable desde la lógica pero no puede hacerse ningún tipo de objeción lógica al hecho que los axiomas de un sistema no sean independientes. Si un axioma puede demostrarse de los demás, entonces estaría probado que no es independiente. No obstante, al igual que sucedía con la consistencia, el hecho de que no pueda probarse la redundancia no prueba que sea independiente. Sin embargo, también aquí el descubrimiento de los modelos provee una forma de demostración. Decimos que un axioma es independiente si hay una interpretación que lo hace falso y verdaderos a todos los demás puesto que si fuera deducible de los demás, cualquier interpretación que hiciera verdaderos a éstos lo haría también verdadero a él. En otros términos, un axioma es independiente si la conjunción de su negación con los demás axiomas del sistema en cuestión tiene algún modelo.

Completitud: Un sistema axiomático es completo si no es posible añadirle axiomas nuevos sin que el sistema en cuestión se convierta en dependiente o inconsistente. Esta propiedad es muy difícil de demostrar.

Pasaremos ahora, a formular los postulados de Peano para la aritmética. Pero antes, nos parece importante realizar una breve digresión para introducir el tema. El conjunto de números naturales con las operaciones de suma y multiplicación no se axiomatizó hasta que Peano, en 1889, realizara su importante aporte a la matemática. El sistema de Peano trata de determinar todas las propiedades de los números naturales. Como toda la matemática, esto es, toda las teorías de números enteros, racionales y demás se construye a partir de la axiomatización de los naturales, es fácil ver por qué el aporte de Peano fue tan significativo.
En el sistema de Peano no tenemos formuladas de manera explícita las reglas o procedimientos deductivos que se emplean para demostrar los teoremas; es decir, no se dice qué términos lógicos utilizar ni cuáles son las reglas de inferencia. En este caso, decimos que la lógica está presupuesta o que estamos en presencia de una lógica subyacente.
Los términos primitivos del sistema axiomático de Peano son los siguientes: “uno” que se representa con el número 1; el predicado “ser número natural” que se representa con la letra N; y la operación “siguiente inmediato” o “sucesor inmediato” que abreviamos simplemente como “siguiente” o “sucesor” y que representamos mediante una tilde “ ‘ “ de manera tal que si n es un número natural cualquiera n’ es el sucesor de n.
La operación “sucesor” como cualquier operación es una función mediante la cual, a cada elemento del dominio le corresponde uno y sólo uno del codominio. Esta operación “sucesor” partiendo de 1 genera todo el conjunto de números naturales. El conjunto de números naturales y en general, cualquier conjunto generado de esta manera recibe el nombre de conjunto inductivo. Los conjuntos inductivos son conjuntos cerrados puesto que cada elemento ha sido generado por una operación inductiva.
Peano formula cinco postulados. Veremos cuáles son.

P1. El número Uno es un número natural. 1 es N

P2. El sucesor de cualquier número natural es también un número natural. Si n es N, entonces n’ es N.

P3. No hay dos números naturales que tengan el mismo sucesor. Dicho de otro modo, si dos números naturales son distintos, sus sucesores también lo son. Si n y m son N y n = m entonces n’ = m’.

P4. Uno no es sucesor de ningún número natural. También podemos decir que no existe ningún número natural del cual 1 sea sucesor: si n es N entonces no es cierto que n’ = 1.

P5. Si 1 tiene una propiedad cualquiera P y para cualquier número natural n, si n posee esa propiedad, entonces su sucesor n’ también la posee, de donde todos los números naturales tienen la propiedad P.

Las definiciones inductivas, como la que tenemos en el caso de la formación del conjunto de números naturales, actúan como reglas que aplicadas a ciertos objetos de un conjunto generan otros que también pertenecen a dicho conjunto.
Si analizamos estos postulados encontramos que se forma una cadena en la cual, el primer eslabón es el 1. Esta cadena se extiende a la derecha mediante la operación siguiente. Lo que los postulados logran es caracterizar la sucesión de los números naturales como una construcción a partir de un primer elemento (el número uno) aplicándole la operación siguiente; y al resultado de esta operación, se le aplica, nuevamente, la operación siguiente y así sucesivamente.
El postulado cinco puede ser considerado como una regla para demostrar que todos los números naturales tienen cierta propiedad P. Este postulado recibe el nombre de Postulado de inducción completa. En matemática, llamamos demostraciones por inducción completa a todas las que siguen este esquema. De aquí surge, entonces, un tipo de demostración muy interesante e importante para la matemática llamada demostración por inducción completa o por recursión.
Un buen modelo explicativo que permite comprender el funcionamiento del postulado cinco es imaginar una serie de fichas de dominó alineadas a poca distancia una de otra. Si empujamos la primera, esta hará caer a la siguiente y esta a la siguiente y entonces, sucesivamente, todas caerán.
Con todos los postulados formulados por Peano, estamos en condiciones de demostrar los teoremas de la aritmética; es decir, las proposiciones que expresan las propiedades y las operaciones de los números naturales. Por ejemplo, podemos probar que la propiedad asociativa para la suma.
Entonces resumiendo, podemos sostener que las demostraciones por inducción completa tienen su origen en el postulado cinco del sistema axiomático de Peano para los números naturales.
Las demostraciones por inducción completa tienen la siguiente forma:

a) Si el primer elemento tiene la propiedad P.
b) Si para cualquier elemento n de la serie, si todos o algunos de los elementos anteriores a n tienen la propiedad P, entonces n’ también la tiene...
Entonces
c) Todos los elementos tienen la propiedad P.

Tenemos que a es el caso base, b es la etapa inductiva y c es la generalización.
Un buen ejemplo de demostración por inducción completa es la demostración de la proposición aritmética que dice que todo número natural multiplicado por el número dos es un número natural.
El caso base consistiría en demostrar que 1 (el primer elemento del conjunto de números naturales) multiplicado por 2 es par. 1 x 2 = 2 . Dos es par.
La etapa inductiva consiste en demostrar que si para cualquier número natural n, si n x 2 es par, entonces n’ x 2 también es par.
Finalmente, la generalización consistiría en concluir que todo número natural n x 2 es par.


6. Como suele ocurrir en las ciencias, la teoría de conjuntos fue formulada por Cantor entre 1874 y 1897 para resolver problemas, en este caso matemáticos. Cantor había demostrado que no era posible numerar todos los números reales comprendidos entre 0 y 1 lo que permite concluir que la infinitud de los números reales no es la misma que la de los números naturales. Esto representaba un problema para el logicismo. Recordemos que Frege había intentado mostrar que la aritmética era parte de la lógica. Cantor se adelantó a Frege y como solución al problema planteado, formuló la teoría de conjuntos. La primera definición que Cantor da de conjunto dice que es una colección en un todo de determinados y distintos objetos de nuestra percepción o nuestro pensamiento, llamados los elementos del conjunto. Esta definición, más adelante, será cuestionada por Russell que además, demostrará mediante la famosa paradoja que lleva su nombre la inconsistencia de la teoría. Con Russell, se inicia una serie de intentos de mejorar la teoría de conjuntos. Veremos cómo se logran solucionar las paradojas en la presentación axiomática formalizada de la teoría de conjuntos.
La definición intuitiva de conjunto como una colección de objetos describible por un predicado lleva a ciertas contradicciones llamadas paradojas. La más conocida de ellas es la ya mencionada paradoja de Russell. La misma puede expresarse de la siguiente manera:
M=



Un conjunto de caramelos no es miembro de sí mismo puesto que este conjunto no es un caramelo.

Según Cantor:


Esto quiere de decir que cada conjunto es elemento de M si y sólo si no es elemento de sí mismo. Ahora, en vista de que M es un conjunto, se puede substituir x por M en la ecuación, de donde se obtiene:

Es decir que M es un elemento de M si y sólo si M no es un elemento de M, lo cual es absurdo.
Russell se preguntaba si el conjunto de los conjuntos que no forman parte de ellos mismos forma parte de sí mismo. La paradoja consiste en que si no forma parte de sí mismo, pertenece al tipo de conjuntos que no forman parte de sí mismos y por lo tanto forma parte de sí mismo. Lo cual es paradójico puesto que formará parte de sí mismo sólo si no forma parte de sí mismo.
Gracias al descubrimiento de esta y otras paradojas (que afectaban a colecciones grandes como la de los ordinales) queda expuesta la dificultad que trae aparejada el concepto de conjunto y lo problemático que resulta identificarlo con el de colección como sugería Cantor. Esto llevó a los matemáticos a ser más cuidadosos a la hora de definir qué es un conjunto.
Una solución a las paradojas fue expuesta por el mismo Russell mediante su teoría de los Tipos. Russell advierte que en todas las paradojas existe un problema de circularidad o reflexividad. Eliminando estas formaciones circulares del lenguaje es posible evitar las paradojas.
Más adelante, Sérmelo formula la teoría axiomática de conjuntos con el objeto de solucionar las paradojas. Con esta teoría se evita que las colecciones que producen paradojas puedan ser conjuntos. Serán conjuntos sólo las colecciones respaldadas por la teoría axiomática. Los axiomas de la teoría axiomática de conjuntos permiten formar conjuntos sólo a partir de conjuntos ya construidos. Postulan además la existencia del conjunto vacío y de por lo menos uno infinito.
En la teoría axiomática de conjuntos se respeta la idea fundamental de aceptar que una colección de objetos pueda ser un conjunto pero se impone la condición de que todos los objetos de una colección deben haberse formado antes de definir dicha colección. Dicho de otro modo, si x es un conjunto ya construido existe un conjunto y formado por los elementos de x que satisfacen un predicado P que los describe. También podemos decir que existe una fórmula con por lo menos una variable libre. De esta manera, un predicado describe un conjunto si los elementos ya han sido construidos y además satisfacen el predicado.
Gracias a esta restricción a la definición de Cantor desaparece la paradoja de Russell.

2 comentarios:

nicologic dijo...

MUY buena explicacion! saludos

PauCastañeda dijo...

Muy buena explicación, pero entonces el sistema axiomatico de Peano es completo?